比较排序算法时间复杂度下界为nlogn的证明

比较排序算法的时间复杂度是O(nlogn)的证明：

排序算法的比较是两两进行的，所以可以抽象成一棵二叉树，相互比较的数分别是左右叶子结点，，比较的结果存储在父节点中，依此类推。那么算法的时间复杂度就是取决于树的深度。如果要对n个数字进行比较排序，则需要进行n!次，即该二叉树有n!片叶子。

一棵深度为d的二叉树拥有的叶子结点数最大为2d个，则具有n!片叶子的二叉树的深度为logn!。

logn!=logn+log(n-1)+log(n-1)+…+log(2)+log(1)≥logn+log(n-1)+log(n-2)+…+log(n/)

≥(n/2)log(n/2)≥(n/2)log(n/10)

≥(n/2)logn-(n/2)log10=(n/2)logn=O(nlogn)

所以比较排序的算法时间复杂度为O(nlogn)